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\deftab1134\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 Cap\loch\f0\hich\f0 \'edtulo 4\par
An\'e1lise combinat\'f3ria\par Na an\'e1lise combinat\'f3ria, vamos trabalhar basicamente com tr\'eas tipos de agrupamentos que podemos formar com determinados elementos
dentro de certas condi\'e7\'f5es:\par 1." tipo\par Numa competi\'e7\'e3o entre cinco alunos, a diretoria da escola resolveu distribuir pr\'e9mios da seguinte forma:
'\par \'95  um microcomputador ao primeiro colocado;\par \'95  uma calculadora ao segundo;\par \'95  uma cole\'e7\'e3o de livros ao terceiro.\par De quantas maneiras
os cinco alunos podem se classificar, de modo que tr\'eas recebam os pr\'e9mios?\par Vamos utilizar as letras A, B, C, D e E para nos referir a cada um dos cinco
alunos. Destes, apenas tr\'eas ser\'e3o premiados, de acordo com a classifica\'e7\'e3o obtida. Supondo que o aluno A alcance o primeiro lugar, vamos esquematizar
as situa\'e7\'f5es que podem ocorrer:\par fixo 1.\'b0 )ugar              :\par I I\par\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\tr
paddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080
vari\'e1veis\cell\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx14
21\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 gar             3\cell ,\'b0
lugar\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt
\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell ' C------\'bb-\cell ABC\cell\intbl\row\pard\trowd\trgap
h40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intb
l\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell\cell ABD\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpa
ddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600
\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell U              *^\cell\par\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\tr
paddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7
920\tx8640\tx9360\tx10080\cell - E ------\u9658\cell ABE\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\cl
vertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell 
- B ------\u9658\cell ACB\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\c
ellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell 
- D------\u9658\cell ACD\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\ce
llx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell\par\cell\par\cell\i
ntbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\i
ntbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell ~E ------\u9658\cell ACE\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpa
ddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx
4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell ' B ------\u9658\cell ADB\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpadd
fl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\
tx8640\tx9360\tx10080\cell -c \'97\u9658\cell ADC\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt
\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell 
~E -----\'bb-\cell ADE\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx14
21\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell - B ------\u9658\cell AEB\cell\intbl\row\pa
rd\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx
1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell -c \'97-\u9658\cell AEC\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\tr
left0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx72
0\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell\par\cell\par\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpadd
r40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx739\clvertalt\cellx1421\clvertalt\cellx1776\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx
6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell ~D------\cell AED\cell\intbl\row\pard\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\t
x10080 12 classifica\'e7\'f5es diferentes com o aluno A em primeiro lugar\par 127\par\pard\par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200
\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 Seguindo esse mesmo raciocinio para os outros quatro alunos, temos: alunos\par  12        =\par  60 maneiras diferentes\par .varia\'e7\'f5es 
que ocorrem, fixado o primeiro lugar\par An\'e1lise do problema\par Vamos comparar os seguintes agrupamentos:\par \'95  (A, B, C) e (A, C, B)\par Os elementos s\'e3o 
os mesmos, dispostos em ordens diferentes; representam classifica\'e7\'f5es diferentes.\par *  (A, B, C) e (A, B, E)\par Pelo menos um dos elementos \'e9 diferente; 
os agrupamentos diferem pela natureza de seus elementos.\par Agrupamentos desse tipo s\'e3o denominados arranjos e podem ser simples ou com repeti\'e7\'e3o de elementos. 
Neste caso, temos um arranjo simples de cinco elementos agrupados 3 a 3.\par 2.\'b0 tipo\par Um dos professores de uma escola tem carro e mora no mesmo bairro que 
cinco de seus alunos. Esse professor se disp\'f5e a dar carona a tr\'eas deles por dia De quantos em quantos dias se repete o mesmo grupo de caronistas?\par Considere 
que A, B, C, D e E sejam os alunos. Supondo que num primeiro dia A, Be C constituam o grupo de caronistas, sabemos que, no segundo dia, pelo menos um desses alunos 
deve mudar.\par Esquematizando as possiveis situa\'e7\'f5es, temos:\par ABC\par ABD\par ABE\par ACD\par ACE\par ADE\par BCD\par BCE\par BDE\par CDE\par >   10 grupos 
diferentes de caronistas\par Logo, o primeiro grupo de caronistas se repetir\'e1 no d\'e9cimo primeiro dia.\par 128\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx216
0\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 An\loch\f0\hich\f0 \'e1lise do problema\par Podemos observar que:\par
\'95  a ordem dos passageiros n\'e3o altera o grupo: ABC, ACB, CAB, BAC ou BCA formam o mesmo agrupamento;\par \'95  para que um agrupamento seja diferente de outro
eles t\'eam que diferir em pelo menos um elemento: a carona ABC \'e9 diferente da carona ABD.\par Agrupamentos desse tipo, de natureza diferente, s\'e3o denominados
combina\'e7\'f5es. Neste caso, temos combina\'e7\'f5es de cinco elementos agrupados 3 a 3.\par 3.0 tipo\par Em uma classe com cinco carteiras, cinco alunos querem
trocar de lugar todos os dias para que ningu\'e9m fique perto de um colega mais tempo que outro. De quantas maneiras isso pode ser feito?\par Mantendo um aluno fixo
em uma das carteiras, obtemos o seguinte esquema:\par 2;\par carteiras\par ADEBC ADECB\par AEBCD AEBDC\par AECBD AECDB\par AEDBC AEDCB J\par  24 agrupamentos\par
129\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20
Considerando alternadamente cada um dos quatro alunos restantes nessa primeira carteira, obtemos quatro esquemas semelhantes a este. Assim:\par n\loch\f0\hich\f0
\'famero de pessoas\par 24      =120 maneiras diferentes\par L\par agrupamentos obtidos ao fixarmos um dos alunos em determinado lugar\par An\'e1lise do problema\par
Comparando este problema com o do 1." tipo, verificamos que:\par \'95  em ambos a ordem dos elementos \'e9 importante;\par \'95  no problema do 1." tipo t\'ednhamos
cinco elementos que deviam ser agrupados 3 a 3. Neste, os cinco elementos devem ser agrupados 5 a 5.\par Agrupamentos desse tipo s\'e3o denominados permuta\'e7\'f5es.
Neste caso, temos permuta\'e7\'f5es de cinco elementos agrupados 5 a 5.\par Resumindo:                                                 \'95\par Arranjos s\'e3o agrupamentos
em que a ordem dos elementos \'e9 importante. Combina\'e7\'f5es s\'e3o agrupamentos em que a ordem dos elementos n\'e3o \'e9 impor-\par tante.\par Permuta\'e7\'f5es
s\'e3o arranjos de n elementos que apenas trocam de lugar entre si.\par Exerc\'edcios prapostDs\par PI) Numa competi\'e7\'e3o entre seis alunos, a di-retoria da
escola estava em d\'favida quanto a premiar os quatro primeiros lugares ou apenas os dois primeiros. Em cada caso, verifique de quantas maneiras \'e9 poss\'edvel
premiar os competidores.\par P2) Um dos professores de uma escola tem carro e mora no mesmo bairro que seis de seus alunos. Esse professor se disp\'f5e a dar carona
a tr\'eas deles por dia. De quantos em quantos dias se repete o mesmo grupo de caronistas?\par P3)   Um grupo de seis pessoas (A,  B, C, D,\par E, F) est\'e1 reunido
na frente do caixa de um banco, quando este lhes pede que fa\'e7am fila. De quantas maneiras diferentes essa fila poder\'e1 ser formada?\par P4) Um professor disp\'f5e
de dez alunos para formar uma comiss\'e3o de tr\'eas representantes de classe. Que tipo de agrupamento ele ter\'e1 que fazer? De quantas formas ele poder\'e1 formar
a comiss\'e3o?\par P5) Disponho dos algarismos 1, 2, 4, 8 e 9 para formar n\'fameros de tr\'eas algarismos. Com que tipo de agrupamento estou trabalhando? Quantos
n\'fameros, sem repeti\'e7\'e3o, formarei?\par 130\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\
tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 Fatorial\par No estudo de an\loch\f0\hich\f0 \'e1lise combinat\'f3ria, frequentemente aparecem produtos como 4.3.2-1 ou 6-5.4-3.2.1.
Dizemos que:\par \'95 4! = 4-3.2.1 = 24\'e9o fatorial de 4;\par  6                                                 \'e9o fatorial de 6.\par De modo geral, chamamos
de n! (fatorial de um n\'famero inteiro e n\'e3o-negativo n) o produto desse n\'famero por todos os outros inteiros positivos que o precedem, ou seja:\par n! = n
\'95 (n-!)(n-2) . ... . 3 .2 . 1, ne IN  ,\par Exemplos:\par 1)   3! = 3 -2.1 = 6\par 2)   5! = 5 -4. 3 -2 . 1 = 120\par Observa\'e7\'e3o:\par 0!=l 1!=1\par Assim:\par
n! = 1, para n = O ou n = 1 n! = n \'95 (n \'97 1), para n > 1, n e\par RI) Calcular\par Exerc\'edcios resolvidos\par 8!\par 6!2!' Solu\'e7\'e3o:\par 8!   _ 8 . 
7 -6 \'95 5 -4 \'95 3 -2 \'95 1 6!2!~6 .5-4-3.2-1-2.1\par = 28\par (x + 1)! + x!     48\par R2) Resolver a equa\'e7\'e3o -------^\'977t- = -;^) onde xe IN e x^ 1.\par 
x! -(x- 1)!      5\par Solu\'e7\'e3o:\par Desenvolvemos cada fatorial at\'e9 que apare\'e7a, em todos, o de menor valor [(x \'97 1)!]. Assim:\par f(x+l)! = (x+l)-x-(x-l)! 
\'edx! = x \'95 (x- 1)!\par 131\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plai
n\f0\fs20 Substituindo na equa\loch\f0\hich\f0 \'e7\'e3o dada, vem: (x+l)! + x!_48     (x+1) -x .(x-\par  .(x-l)!     48  l)!        ~5\par Colocando (x- 1)! em 
evid\'eancia, temos:\par (x-l)![x . (x+l) + x]_48 (x-l)!(x-l)           5\par x-1\par\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trp
addfb3\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx758\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx940\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx1218\clvertalt\cellx1506\pard\intbl\tx720\tx1440\tx216
0\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell +\cell X\cell 48\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpadd
b0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx758\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx940\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx1218\clvertalt\cel
lx1506\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 X \'97\cell 1\cell\cell 5\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trl
eft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx758\clvertalt\cellx940\clvertalt\cellx1218\clvertalt\cellx1506\pard\intbl\tx720\tx
1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 = 6 ou X\cell =\cell 8\par T\cell\cell\intbl\row\pard\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx36
00\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 Q\par Entretanto, x = y n\'e3o conv\'e9m, porque n\'e3o definimos fatorial para n\'famero fracion\'e1rio.\par 
Logo:\par V=\{6\}                                                                                                                                      -*\par R3) 
Simplificar a express\'e3o ^ ' (" + 2)!   ^^^ ^ ^^^\par n!\par Solu\'e7\'e3o:                                                         \'95\par Desenvolvendo (n + 
2)! at\'e9 n!, que \'e9 o fatorial menor, temos:\par (n + 2)! = (n + 2)(n+l) . n!\par Substituindo na express\'e3o e simplificando, vem:\par 2 \'95 (n + 2)! _ 2 
\'95 (n + 2) (n + 1) . n!\par n!\par n!\par = 2 . (n + 2) (n + 1) = 2n2 + 6n + 4\par  Exerc\'edcios piripostos\par P6)  Calcule:\par a)  7!      b)\par 7!\par 2!5!\par 
P7)  Calcule x nas equa\'e7\'f5es abaixo:\par (x + 1)!\par \'ab1     d)-6L\par 5!           3!3!\par a)\par = 21\par b)   x!\par x!\par  20 \'95(x-1)!-(x+1)! x!\par 
X - 1\par 132\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 
liuilulilliluiiiinLiUliinj;:::!;!:!!\par\par f)\par (x + 2)!\par x + 3\par P8)  Simplifique as seguintes express\loch\f0\hich\f0 \'f5es:\par b)\par (n-2)! (n + 1)!\par 
(n + 1)! (n-1)! (n + 2)!n!\par Arranjos simples\par Chamamos de arranjos simples de n elementos diferentes tomados p a p (An p ou AS) os agrupamentos de p elementos 
distintos.\par Neste caso, os arranjos diferem um do outro porque:\par \'95 t\'eam pelo menos um elemento diferente;\par \'95 t\'eam os mesmos elementos dispostos 
em ordens diferentes.\par Dado o conjunto A= \{a, b, c, d\}, vamos esquematizar o n\'famero de arranjos simples dos quatro elementos:\par \'95 Tomados 2 a 2:\par 
b\par\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertalt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\cl
brdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 b \'97\cell \'97 (a,b)\cell\cell\intbl\ro
w\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertalt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\c
lbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 c \'97\cell -^ (a, c)\cell\cell\intbl\ro
w\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertalt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\c
lbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 d \'97\cell \'97 (a, 
d)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertalt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\
cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 
a----\cell \'97 (b,a)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertalt\clb
rdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 
c----\cell \'97 (b, c)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertalt\cl
brdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080
 d----\cell \'97 (b, d)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertalt\c
lbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx1008
0\cell\cell >\u9632  12 arranjos\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clverta
lt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx
10080 a----\cell -^ (c, a)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvertal
t\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx1
0080 b \'97\cell \'97 (c, b)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clvert
alt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\t
x10080 d----\cell \'97 (c, d)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clver
talt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\
tx10080 a----\cell \'97 (d, a)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clve
rtalt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360
\tx10080 b----\cell \'97 (d, b)\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\cellx509\clv
ertalt\clbrdrr\brdrs\brdrw15\cellx1584\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\cellx2774\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx936
0\tx10080 c----\cell \'97 (d, c) J\cell\cell\intbl\row\pard\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 
'\'97 quatro grupos de tr\'eas elementos \u9632  quatro grupos\par Logo:\par A^ 3 = 4 \'95 3 = 12 arranjos simples\par 133\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx144
0\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 Tomados 3 a 3:\par (a, d, b) (a, d, c)\par 24 arranjos\par -cada 
elemento com dois arranjos -cada grupo com tr\loch\f0\hich\f0 \'eas elementos \'95 quatro grupos\par Logo:\par A4, 3 = 4. 3 .2 = 24\par arranjos simples\par 134\par\pard\plain\f0\f
s24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 De modo geral:\par ou:\par 
p \loch\f0\hich\f0 \'edatoreb\par n!\par Exerc\'edcios resoK/idcs\par R4) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos n\'fameros de tr\'eas algarismos, sem repeti\'e7\'e3o, 
existem em nosso sistema de numera\'e7\'e3o?\par Solu\'e7\'e3o:\par Temos seis elementos para ocupar tr\'eas lugares. Ent\'e3o, com os algarismos 1, 2 e 3 podemos 
formar, por exemplo, os n\'fameros:\par ri23 (cento e vinte e tr\'eas) < 321 (trezentos e vinte e um) [l32 (cento e trinta e dois)\par Assim, mantendo os mesmos 
elementos e alterando suas posi\'e7\'f5es formamos agrupamentos diferentes. Neste caso, os agrupamentos s\'e3o arranjos simples.\par Aplicando a f\'f3rmula geral, 
temos: Ag, 3 = 6. 5 .4 = 120\par Logo, com os seis algarismos dados podemos formar 120 n\'fameros de tr\'eas algarismos n\'e3o-repetidos.\par R5) Num pr\'e9dio com 
dez moradores \'e9 necess\'e1rio formar uma comiss\'e3o com tr\'eas pessoas: um sindico, um secret\'e1rio e um tesoureiro. Quantas comiss\'f5es diferentes podem 
ser formadas com esses moradores?\par Solu\'e7\'e3o:\par Como na comiss\'e3o os cargos s\'e3o diferentes, a ordem em que situamos as pessoas \'e9 importante. Assim, 
(A, B, C) \'e9 um tipo de comiss\'e3o e (A, C, B) \'e9 outro. Trata-se, portanto, de um caso de arranjo simples. Como temos dez elementos para tr\'eas lugares, ent\'e3o:\par 
Aio,3 = 10-9 \'95 8 = 720\par Logo, podemos formar 720 comiss\'f5es diferentes.\par 135\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx504
0\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 R6) Com os algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos n\loch\f0\hich\f0 \'fameros pares, situados 
entre 2 000 e 5 000 e sem algarismos repetidos podemos formar?\par Solu\'e7\'e3o:\par N\'fameros situados entre 2 000 e 5 000 t\'eam quatro algarismos e o algarismo 
inicial s\'f3 pode ser 2, 3 ou 4 Alem disso, os n\'fameros devem ser pares, ou seja, o algarismo final s\'f3 pode ser U, 2, 4 ou 6, conforme o esquema abaixo' 2 
0\par f\par 2 2 3 3 3 3 4 4\par _ 4\par 6 . O\par 2\par 4\par 6\par O\par 2 -A-\par Estes devem ser eliminados porque os algarismos n\'e3o podem ser repetidos.\par 
4_____6\par Sobram, ent\'e3o, dez possibilidades. Vamos analisar uma delas:\par 2            O\par Verificamos, assim, que cinco algarismos podem ocupar os dois 
lugares que sobram, ou\par seja'.\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 '^5,2 
= 5 \loch\f0\hich\f0 \'95 4 = 20 n\'fameros come\'e7ados por 2 e terminados em O\par Como temos dez possibilidades, vem:\par 10-A5 2=10 . 20 = 200\par Logo, podemos 
formar duzentos n\'fameros dentro das condi\'e7\'f5es exigidas.\par Exerc\'edcios prapostos\par P9)   Calcule:\par a)   A,, 3\par b)   A3, ,\par c)   A3.3\par d) 
A,,,\par e)  A.\par 136\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs2
0 PI 3) Entre quatro alunos de uma classe ser\loch\f0\hich\f0 \'e1 escolhida a diretoria do gr\'e9mio, formada por presidente, secret\'e1rio e tesoureiro. De quantas 
maneiras tal diretoria pode ser formada com esses elementos?\par PI 4) Quantas palavras de tr\'eas vogais n\'e2o-repetidas podemos formar com as vogais a, e, i, 
o, u?\par PI 5) Quantos n\'fameros de tr\'eas algarismos e que possuam pelo menos um algarismo repetido existem em nosso sistema de numera\'e7\'e3o?\par PIO) Num 
campeonato com oito clubes, quantos jogos ser\'e3o realizados em dois turnos?\par P11)   Determine quantos n\'fameros de:\par a)  quatro algarismos n\'e3o-repetidos 
podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;\par b)  tr\'eas algarismos  n\'e3o-repetidos podemos formar com os algarismos O, 1, 2, 3, 4.\par PI 2) Com 
os algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, quantos n\'fameros \'edmpares maiores que 3 000 e menores que 5 000 podemos formar de modo que n\'e3o tenham algarismos repetidos?\par 
Arranjos com repeti\'e7\'e3o              r\par Vamos determinar os n\'fameros de dois algarismos que podemos formar utilizando\par I,  2, 3, 4.\par Considerando 
que os dois algarismos sejam distintos, temos um arranjo simples de quatro elementos 2 a 2:\par 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43\par Considerando, 
agora, que os dois algarismos sejam distintos ou n\'e3o, terRos um arranjo com repeti\'e7\'e3o de quatro elementos 2 a 2:\par II,  12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 
32, 33, 34, 41, 42, 43, 44\par Chamamos de arranjos com repeti\'e7\'e3o de n elementos diferentes tomados p a p [(AR)n p] os agrupamentos de p elementos distintos 
ou n\'e3o.\par Dado o conjunto A= \{a, b, c\}, vamos esquematizar o n\'famero de arranjos com repeti\'e7\'e3o de quatro elementos:\par \'95 Tomados 2 a 2:\par > 
9 arranjos\par\u9658 tr\'eas grupos de tr\'eas elementos tr\'eas grupos\par 137\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760
\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20\par Logo:\par ,2 = 3 \loch\f0\hich\f0 \'95 3 = 9 arranjos com repeti\'e7\'e3o\par Tomados 3 a 3:\par W\par 
V  27 arranjos\par cada elemento com tr\'eas arranjos\par tr\'eas grupos de tr\'eas elementos\par 138\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx360
0\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20\par Logo:\par (AR)   3 = 3 \loch\f0\hich\f0 \'95 3 \'95 3 = 27 arranjos com repeti\'e7\'e3o\par 
De modo geral:\par Exerc\'edcios resolvidos\par R7) Em um vestibular, cada uma das trinta quest\'f5es apresenta quatro alternativas diferentes. De quantos modos 
\'e9 possivel responder a essas quest\'f5es?\par Solu\'e7\'e3o:\par (AR),, 30 = 430\par R8) Cinco pessoas, Aguiar, Mendes, Teixeira, Duarte e Rocha, disputam a posse 
de tr\'eas aivalos que ser\'e3o leiloados separadamente. Quantos s\'e3o os poss\'edveis resultados desse leil\'e3o? Qual a probabilidade de o Sr. Mendes comprar 
os tr\'eas cavalos?\par Solu\'e7\'e3o:\par Logo, h\'e1 125 resultados possiveis para esse leil\'e3o.\par A probabilidade de o Sr. Mendes comprar os tr\'eas cavalos 
- arranjo do tipo (M, M, M)-\par \'e9 uma em 125 ou \'97.\par Exerc\'edcios propostos\par PI 6) Quantos n\'fameros de tr\'eas algarismos podemos formar com os elementos 
do conjunto  \{1, 2, 3, 4\}?\par PI 7) Quantos n\'fameros situados entre 2 000 e 5 000 podemos formar com os elementos do conjunto \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}?\par PI 
8) Uma placa de autom\'f3vel \'e9 formada por duas letras e quatro algarismos. Supondo a exist\'eancia de 23 letras e dez algarismos, qual o n\'famero de carros 
que podem ser emplacados dessa forma? E se cada placa\par fosse formada por tr\'eas letras e tr\'eas algarismos?\par PI 9) Quantos algarismos empregamos para numerar 
as p\'e1ginas de um livro que tem trezentas p\'e1ginas?\par P20)  Determine o n\'famero de palavras com:\par a)  tr\'eas letras que podemos formar com as letras 
a, b, c, d e e;\par b)  quatro   letras   que   podemos   formar com as letras a, r e o.\par 139\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4
320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 Permuta\loch\f0\hich\f0 \'e7\'f5es simples\par Chamamos de permuta\'e7\'f5es simples de 
n elementos (PJ os agrupamentos formados com os n elementos apenas trocando de lugar entre si.\par 7   Observa\'e7\'f5es:                                        
~-\par l 1) Nas permuta\'e7\'f5es, todos os elementos envolvidos fazem parte de agrupamentos I       de mesma natureza.\par I 2) Permuta\'e7\'f5es nada mais s\'e3o 
do que arranjos. Assim, podemos dizer que per-I muta\'e7\'f5es simples de n elementos s\'e3o os arranjos desses n elementos agru-I        pados n a n. Ent\'e3o:\par 
n!\par p ^\par . Logo: sg|S2==: (n-n)!"*^""(yT^\par Exerc\'edcios resolvidos\par R9) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra AMOR?\par Solu\'e7\'e3o:\par 
Anagramas s\'e3o palavras obtidas a partir de outra trocando a ordem de suas letras.\par Todos os anagramas t\'eam o mesmo n\'famero de letras da palavra inicial. 
Neste caso, a palavra AMOR \'e9 formada por quatro letras diferentes, que devem trocar de lugar entre si. Assim:\par P^ = 4! = 4-3-2. 1=24\par Logo, podemos formar 
24 anagramas.\par RIO) Quatro homens e tr\'eas mulheres est\'e3o formando um grupo para serem fotografados um ao lado do outro. De quantos modos essa foto pode ser 
tirada para que homens e mulheres fiquem separados?\par Solu\'e7\'e3o:\par Supondo que A, B, C, D sejam os homens e M, N, P as mulheres, podemos esquematizar, por 
exemplo, a seguinte situa\'e7\'e3o:\par homens        mulheres ABCD          MNP\par Ent\'e3o, temos:\par \'95 agrupamentos poss\'edveis com os homens:\par 140\par\pard\plain\f0\fs
24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 P^ = 4! = 4. 3 .2- 1=24 
agrupamentos poss\loch\f0\hich\f0 \'edveis com as mulheres: P3 = 3! = 3-2 . 1 = 6\par Para cada um dos 24 agrupamentos de homens h\'e1 seis agrupamentos diferentes 
de mulheres. Assim, o total de agrupamentos possiveis \'e9 dado por:\par P^ .P3 = 24 . 6=144\par No entanto, como consideramos apenas a hip\'f3tese de homens \'e0 
esquerda e mulheres \'e0 direita, permutando os grupos de lugar, vem:\par Logo, o n\'famero total de fotografias diferentes poss\'edveis \'e9 dado por:\par P2 \'95 
P3\par  = 2! 3! 4! = 2 \'95 6 \'95 24 = 288\par Permuta\'e7\'f5es com elementos repetidos\par Vamos determinar o n\'famero de anagramas que podemos formar com\'bb 
a palavra ARARA.\par Neste caso, temos letras repetidas (A e R) e, portanto, n\'e3o basta permutar as letras porque muitos anagramas ser\'e3o os mesmos.\par Trata-se 
de um caso de permuta\'e7\'e3o com elementos repetidos, indicado por:\par P^, P, y,      __ n                      \'97\par n!\par a!(3!y! ... onde a, P, y, ... 
representam o n\'famero de vezes que as letras se repetem na palavra.\par r\par Neste caso, temos:\par n\'famero de vezes que a letra A se repete\par 5 ^ -\'ab-n\'famero 
de vezes que a letra R se repete U-total de letras da palavra\par Logo:\par P-= ^ =\par ^        3!2!\par  . 10\par  3!2!     3 .2\'95 1 \'95 2 \'95 1\par Ent\'e3o, 
com a palavra ARARA formamos dez anagramas.\par 141\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640
\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 Exerc\loch\f0\hich\f0 \'edcio resolvido\par Rll) Quantos anagramas da palavra MATEM\'c1TICA come\'e7am com E e terminam com I?\par 
Solu\'e7\'e3o:\par Esquematicamente, temos:\par M   A   T/e)   M   \'c1   T CD   C   a\par oito letras para serem permutadas\par (tr\'eas letras A, duas letras M, 
duas\par letras T e uma letra C)\par Assim, permutando as oito letras, encontramos:\par 8!       .p3, 2, 2        8.7.6.5.4-3.2.1\par p3\par 3!2!2! 2=8.7.6\par 3.2.1.2.1.2.1 
3' 2- 2 = 1 680 anagramas\par Exerc\'edcios prcpostDs\par P21)   Calcule:\par a)   Ps\par b)   Pe\par c)   P,\par d)   P^-\par e)\par P22) Quantos n\'fameros de 
quatro algarismos n\'e3o-repetidos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4?\par P23) Determine o n\'famero de anagramas da palavra MIGRANTE:\par a)   que come\'e7am 
por M;\par b)  que   come\'e7am   por   M   e   terminam por E:\par c)  que possuem as letras RAIM sempre juntas e nessa posi\'e7\'e3o;\par d)  que possuem as letras 
RAN sempre juntas em qualquer posi\'e7\'e3o.\par P24) Determine o n\'famero de anagramas da palavra PALAVRA que come\'e7am e terminam por A.\par P25) Tenho tr\'eas 
livros de Matem\'e1tica, quatro de F\'edsica e cinco de Qu\'edmica. De quantas maneiras posso arrum\'e1-los em uma estante, de modo que os livros de uma mesma   
mat\'e9ria  fiquem  sempre juntos?\par P26) Permutando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, obtemos 120 n\'fameros sem algarismos repetidos. Dentre esses, que lugar ocupa 
o n\'famero 35 412?\par P27) Sete pessoas v\'e3o se posicionar para uma fotografia. Determine o n\'famero de maneiras poss\'edveis que essa fotografia pode ser tirada 
sabendo que:\par a)   duas das pessoas n\'e3o querem ficar juntas;\par b)  al\'e9m de duas das pessoas n\'e3o quererem ficar juntas, duas outras querem aparecer 
juntas.\par 142\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20\par\tr
owd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx
202\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx279\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\b
rdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx433\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx1239\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx50
40\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell m\cell um\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpadd
fr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx202\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrd
rb\brdrs\brdrw15\cellx279\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx433\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\b
rdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx1239\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell\cell TIfF\cell\cell\intbl\r
ow\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brd
rw15\cellx202\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx279\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrd
rr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx433\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx1239\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\t
x4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell\cell\cell\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\t
rpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx202\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\
clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx279\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\brdrs\brdrw15\clbrdrr\brdrs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx433\clvertalt\clbrdrl\brdrs\brdrw15\clbrdrt\br
drs\brdrw15\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx1239\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell Ji\cell\cell\cell\intb
l\row\pard\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 Combina\loch\f0\hich\f0 \'e7\'f5es simples\par 
Chamamos de combina\'e7\'f5es simples de n elementos distintos agrupados p a\par  Cn p, CS ou  (      )   os agrupamentos de naturezas diferentes formados por p\par 
p   Cn p, CS ou elementos.\par Observa\'e7\'e3o: Nas combina\'e7\'f5es simples, a ordem dos elementos no agrupamento n\'e3o importa.\par Vamos supor que haja quatro 
pessoas para ocuparem tr\'eas lugares em um \'f4nibus. quantos modos diferentes podemos acomodar essas pessoas? Esquematizando as situa\'e7\'f5es possiveis, temos:\par 
grupos com A, B e C (P3): ABC     ACB    BAC    BCA    CAB    CBA\par grupos com A, B e D (P3): ABD    ADB   BAD   BDA    DAB    DBA\par grupos com A, C e D (P3): 
ACD   ADC   CAD   CDA   DAC    DCA\par grupos com B, C e D (P,): BCD    BDC    CBD    CDB    DBC   DCB\par No entanto, como na forma\'e7\'e3o dos grupos n\'e3o nos 
interessa a ordem em que as pessoas s\'e3o escolhidas, cada linha desse esquema \'e9 o mesmo agrupamento.\par Ent\'e3o, uma \'fanica coluna nos fornece o total de 
combina\'e7\'f5es possiveis neste caso:\par -'4, 3\par No esquema, verificamos que:\par \'95  cada linha horizontal equivale a uma permuta\'e7\'e3o de tr\'eas elementos;\par 
\'95  cada linha vertical equivale a combina\'e7\'f5es simples de quatro elementos 3 a 3;\par \'95  o quadro total equivale aos arranjos simples de quatro elementos 
3 a 3.\par Logo:\par Generalizando, temos:\par An, p \'97 Pp\par n!\par (n-p)!\par p!\par 143\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320
\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\plain\f0\fs20 c    -\par  (n-p)!    p!\par Logo:\par n!\par p!(n-p)!\par  \loch\f0\hich\f0 \'edl\par Exerc\'edcios 
resolvidos\par R12) Entre seis alunos de uma classe precisamos selecionar quatro para participarem de um torneio de xadrez. De quantos modos possiveis podemos formar 
essa equipe?\par Solu\'e7\'e3o:\par Como a ordem dos integrantes da equipe n\'e3o importa, este \'e9 um caso de combina\'e7\'f5es simples de seis elementos agrupados 
4 a 4:\par 6!\par "\u9632 "    4!(6-4)!     ^6.4-4,2!^^6.4    4.3.2 Logo, podemos formar quinze equipes diferentes.\par  6.5-4-3-2-l\par\par RI 3) Um partido com 
oito deputados e quatro senadores precisa participar de uma comiss\'e3o mista cedendo tr\'eas deputados e dois senadores. De quantas maneiras os elementos desse 
partido poder\'e3o compor a comiss\'e3o?\par Solu\'e7\'e3o:\par Esquematizando essa situa\'e7\'e3o, temos:\par oito deputados         quatro senadores\par comiss\'e3o:\par 
Ent\'e3o:\par 8!\par  4!\par ^8,3^4, 2     3! (8-3)! "41(4-2)! Logo, podemos formar 336 comiss\'f5es.\par Exerc\'edcios prcpostos\par = 56 \'95 6 = 336\par P28) 
Calcule:\par d)  C,.,\par P29) Numa classe, sete alunos pegam carona com um professor. De quantas maneiras essa carona pode ser estabelecida, sabendo que o professor 
leva quatro alunos de cada vez?\par 144\par\pard\plain\f0\fs24  \par\tab\tab\par\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10
080\plain\f0\fs20 P30) Uma empresa quer constituir uma comiss\loch\f0\hich\f0 \'e3o de empregados. Dentre os dez mais cotados e atuantes devem ser escolhidos tr\'eas. 
De quantas maneiras essa comiss\'e3o pode ser constitu\'edda?\par P31) Numa classe com seis alunos e sete alunas deseja-se formar uma comiss\'e3o de formatura com 
dois alunos e duas alunas. De quantas maneiras essa comiss\'e3o pode ser formada?\par P32) Numa classe com nove alunos o professor quer formar um grupo de quatro 
alunos. De quantas maneiras esse grupo pode ser formado, sabendo que dois dos alunos s\'f3 participam juntos do grupo?\par P33) Com rela\'e7\'e3o ao exercicio anterior, 
al\'e9m dos dois alunos que s\'f3 ficam juntos no grupo, h\'e1 dois alunos que n\'e3o querem ficar juntos. De quantas maneiras esse grupo pode ser agora formado?\par 
P34) Dadas duas retas paralelas, em uma h\'e1 quatro pontos e na outra h\'e1 cinco. Determine o n\'famero de:\par a)  tri\'e2ngulos que  podem  ser formados unindo 
tr\'eas quaisquer desses pontos;\par b)  quadril\'e1teros que podem ser formados unindo quatro quaisquer desses pontos.\par P35) Dados um conjunto X de quatro pontos 
contidos num plano a, dos quais tr\'eas nunca est\'e3o alinhados, e um conjunto Y de cinco pontos contidos num plano p, P/ot, nas mesmas condi\'e7\'f5es, calcule 
o n\'famero total de tri\'e2ngulos que podemos formar unindo tr\'eas pontos quaisquer, sabendo que tr\'eas deles nunca est\'e3o alinhados.\par P36) Num campeonato 
de futebol com quinze clubes, quantos ser\'e3o os jogos num turno?\par P37)   Calcule x nos seguintes casos: a)  A, 2 - C,, 2 = 10-x\par 0\par (x + 1)!-x!\par\trowd\trgaph40\trleft
0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx230\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx422\clvertalt\clbrdrb\
brdrs\brdrw15\cellx604\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx815\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx1161\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\t
x7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 (X\cell +\cell 2)\cell ! -\cell - x!\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddf
r3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx230\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx422\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx604\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx815\clv
ertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx1161\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080\cell (X\cell 
-\cell 1)\cell !\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx230\c
lvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx422\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx604\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx815\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx1161\pard\intbl\tx720
\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 Cx\cell ,  2\cell -\cell Cx\cell . 3\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl
40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb3\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx230\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx422\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brd
rw15\cellx604\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx815\clvertalt\clbrdrt\brdrs\brdrw15\cellx1161\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7
920\tx8640\tx9360\tx10080 Cx\cell .4\cell -\cell Cx\cell . 3\cell\intbl\row\pard\trowd\trgaph40\trleft0\trpaddl40\trpaddt0\trpaddr40\trpaddb0\trpaddfl3\trpaddft3\trpaddfr3\trpaddfb
3\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx230\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx422\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx604\clvertalt\clbrdrb\brdrs\brdrw15\cellx815\clvertalt\clbr
drb\brdrs\brdrw15\cellx1161\pard\intbl\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 Cx\cell , 2\cell +\cell 
Cx\cell\cell\intbl\row\pard\pard\tx720\tx1440\tx2160\tx2880\tx3600\tx4320\tx5040\tx5760\tx6480\tx7200\tx7920\tx8640\tx9360\tx10080 b)\par x!\par (x+1)!\par 22 11\par 
x!\par d)  A,+,.^-C\par e)  A,,,+ C? =\par f)  A,,, = 180\par g)\par h)\par ')   C      -C\par P38) Uma classe com dez alunos deseja realizar uma festa. Para isso 
deve ser montada uma comiss\'e3o com presidente, secret\'e1rio, tesoureiro e festeiro. Quantas comiss\'f5es assim  podem  ser formadas?\par P39) Um treinador de 
v\'f4lei disp\'f5e de nove jogadores. De quantas maneiras ele pode armar o time, sabendo que todos os jogadores t\'eam o mesmo n\'edvel t\'e9cnico?\par P40)   Determine 
quantos n\'fameros:\par a)   situados entre 2 000 e 4 000 podemos formar com os algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, sem repeti\'e7\'e3o;\par b)   pares situados  entre 
2 000 e 4 000 podemos formar com os algarismos O, 1, 2, 3, 4, sem repeti\'e7\'e3o;\par c)   pares de quatro algarismos, formados com os algarismos O, 1, 2, 3, 4, 
5 e sem repeti\'e7\'e3o existem em nosso sistema de numera\'e7\'e3o;\par d)  \'edmpares de cinco algarismos, formados com os algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5 e sem repeti\'e7\'e3o 
existem em nosso sistema de numera\'e7\'e3o;\par e)   m\'faltiplos de cinco, com quatro algarismos, formados com os algarismos O,  1, 2, 3, 4, 5, 6 e sem repeti\'e7\'e3o 
existem em nosso sistema de nume-\par .:     ra\'e7\'e3o;\par f)   m\'faltiplos de cinco com tr\'eas algarismos n\'e3o-repetidos existem em nosso sistema de numera\'e7\'e3o;\par 
g)   de tr\'eas algarismos com  pelo menos um   algarismo   repetido   existem   em nosso sistema de numera\'e7\'e3o;\par h) com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, sem\par 
repeti\'e7\'e3o, existem em nosso sistema\par de numera\'e7\'e3o; i)  pares situados entre  2 000  e  5 000\par podemos formar com os algarismos\par O, 1, 2, 3, 
4, 5, 6;\par 145\par\pard\plain\f0\fs24  \par }
